YukiCoder No.162 - 8020運動

想定誤解法らしい．(システムテストに目をつけられたら落ちそう．)

解法

上下の歯は独立しているので，上の歯14本だけを考える．
あらかじめ，歯の状態間の遷移確率を計算しておく．
配るdp[年齢][歯の状態(bit表現)]をする．20・2^14・2^14(≒5.3x10^9)でΩ\・8・)ﾁｭｰﾝだが，実はΩ\・8・)ﾁｭｰﾝでもない．
1歳老いるときの配る回数を考える．ある歯の状態からの遷移先は2^(生存している歯の本数)個ある．
(生存しているそれぞれの歯に対して，生存させるか，させないかの2通りがあるから．)
なので，配る回数は

と表せる．
括弧内を落ち着いて見ると，「14個からk個選んで，それらに0，1のいずれかを入れる方法の総数」と解釈できる．
全体をゆったり眺めると，「14個のマスに0，1，つかわないのいずれかを割り当てる方法の総数」と解釈できる．これは14桁の3進数の個数，すなわち，3^14に等しい．
ゆえに配る回数の総数は20・3^14(≒9.5x10^7)となるので(前処理が重いので1[s]は超えるが)間に合う．

[追記(15/03/28 22:33)]
落ち着いて見なくても，ゆったり眺めなくても，2項定理から

と求められます．くろとんさんに教えていただきました．ありがとうございました．
[追記おわり]

コード

// Wrongri-La Shower

#include <cstdio>
#include <vector>

typedef std::pair<int,double> Pair;

double P[3]; // 虫歯に「なる」確率
std::vector<Pair> ns[1<<14];
double dp[21][1<<14];

double probability(int prev, int next){
    double res = 1.0;
    for(int i=0;i<14;i++){
        if(!(prev >> i & 1)){continue;}
        
        double p;
        if(i == 0){
            p = P[prev >> 1 & 1];
        }else if(i == 13){
            p = P[prev >> 12 & 1];
        }else{
            p = P[(prev >> i-1 & 1) + (prev >> i+1 & 1)];
        }

        res *= next >> i & 1 ? 1.0-p : p;
    }

    return res;
}

int main(){
    int N;
    scanf("%d", &N);
    N = 80-N;

    scanf("%lf %lf %lf", P, P+1, P+2);
    for(int i=0;i<3;i++){P[i] /= 100;}

    
    for(int i=0;i<1<<14;i++){
        for(int j=0;j<1<<14;j++){
            if((i & j) != j){continue;}

            ns[i].push_back(std::make_pair(j, probability(i, j)));
        }
    }

    dp[0][(1<<14)-1] = 1.0;
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<1<<14;j++){
            for(const auto& p : ns[j]){
                dp[i+1][p.first] += dp[i][j] * p.second;
            }
        }
    }

    double res = 0.0;
    for(int i=0;i<1<<14;i++){
        res += dp[N][i] * __builtin_popcount(i);
    }

    printf("%.12f\n", res * 2);
}